Question

已知兩個定點A,B的坐標分別為（-1，0）和（1，0），動點P滿足=（O為坐標原點）.

（1）求動點P的軌跡E的方程；

（2）過點C(0,1)的直線l與軌跡E在x軸上方部分交于M,N兩點，線段MN的垂直平分線與x軸交于D點，求D點橫坐標的取值范圍.

Answer 1

解:(1)設P(x,y),則=(x+1,y),=(x-1,y),∵=,

∴(x+1)²=(x-1)²+y²,即y²=4x.動點P的軌跡E的方程是y²=4x.

(2)設直線l的方程為x=k(y-1),代入軌跡E的方程y²=4x,整理:y²-4ky+4k=0.

由題意知,(4k)²-4×4k＞0且4k＞0,解得k＞1.

由根與系數的關系可得MN的中點坐標為(k(2k-1),2k),

∴線段MN垂直平分線方程為:y-2k=-k[x-k(2k-1)],

令y=0,得D點的橫坐標x ₀=2k²-k+2,

∵k＞1,∴x ₀＞3,即為所求.