Question

21. 已知函數在區間內各有一個極值點.

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）當時，設函數在點處的切線為，若l在點A處穿過的圖象（即動點在點A附近沿曲線運動，經過點A時，從的一側進入另一側），求函數的表達式.

Answer 1

解：（Ⅰ）因為函數在區間［－1,1］,（1,3）內分別有一個極值點，所以＝x²+ax+b=0在［－1,1］,（1,3）內分別有一個實根，設兩實根為x₁、x₂(x₁＜x₂＝,則x₂–x₁=,且0＜x₂-x₁≤4,于是0〈≤4，0〈a²-4b≤16,且當x₁＝－1,x₂=3,即a=-2,b=-3時等號成立，故a²-4b的最大值是16.

（Ⅱ）解法一　由f′（1）＝1＋a+b知f(x)在點（1,f(1)）處的切線l的方程是

y-f(1)=f′(1)(x-1),即y=(1+a+b)x--a.

因為切線l在點A（1,f（1））處穿過y=f(x)的圖象，

所以g(x)=f(x)-[(1+a+b)x--a]在x=1兩邊附近的函數值異號，則x=1不是g(x)的極值點.

而g(x)=x³+ax²+bx-(1+a+b)x++a,且

g′(x) =x²+ax+b-(1+a+b)=x²+ax-a-1=(x-1)(x+1+a),

若1≠－1－a,則x=1和x=-1-a都是g(x)的極值點.

所以1＝－1－a,即a=-2.又由a²-4b=8,得b=-1,故f(x)= x³–x²–x.

解法二　同解法一得g(x)=f(x)-[(1+a+b)x--a]= (x-1)[x²+(1+)x-(2+a)].

因為切線l在點A（1,f(1)）處穿過y=f(x)的圖象，所以g(x)在x=1兩邊附近的函數值異號。于是存在m₁、m₂(m₁＜1＜m₂),當m₁＜x＜1時，g(x)＜0,當1＜x＜m₂時，g(x)＞0；或當m₁＜x＜1時，g(x)＞0,當1＜x＜m₂時，g(x)＜0.

設h(x)=x²＋（1＋）x-(2+),則當m₁＜x＜1時，h(x)＞0,當1＜x＜m₂時，h(x)＞0；或當m₁＜x＜1時，h(x)＜0時，當1＜x＜m₂時，h(x)＜0.

由h(1)=0知x=1是h(x)的一個極值點，則h′(1)＝2×1＋1＋＝0.所以a=-2.又由a²－4b=8,得b=-1.故f(x) =x³-x²-x.