Question

加試題：口袋中有n（n∈N^*）個白球，3個紅球．依次從口袋中任取一球，如果取到紅球，那么繼續取球，且取出的紅球不放回；如果取到白球，就停止取球．記取球的次數為X．若P(X=2)=

7

30

，求：
（1）n的值；
（2）X的概率分布與數學期望．

Answer 1

分析：（1）x=2 說明第一次取出的是紅球，第二次取出的是白球，取球方法數為A₃¹•A_N¹，所有的取球方法數 A_n+3²．
（2）由題知，X的可能取值為1，2，3，4，再求出X取每個值的概率，即可得到X的概率分布列，由分布列可求得X的數學期望．

解答：解：（1）由題知P(X=2)=

A 1 3 × A 1 n

A 2 n+3

=

3n

(n+3)(n+2)

=

7

30

，
即7n²-55n+42=0，
即（7n-6）（n-7）=0．
因為n∈N^*，所以n=7．
（2）由題知，X的可能取值為1，2，3，4，所以P(X=1)=

A 1 7

A 1 10

=

7

10

，P(X=2)=

7

30

，P(X=3)=

A 2 3 A 1 7

A 3 10

=

7

120

，
P(X=4)=1-

7

10

-

7

30

-

7

120

=

1

120

，
所以，X的概率分布表為

所以E(X)=1×

7

10

+2×

7

30

+3×

7

120

+4×

1

120

=

11

8

.
答X的數學期望是

11

8

.

點評：本題考查排列數公式的應用，離散型隨機變量得分布列及數學期望的求法，
關鍵是確定隨機變量的取值及取每個值時的概率．