Question

已知P是雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1上的動點，F₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點，M是∠F₁PF₂的平分線上的一點，且

F2M

•

MP

=0，O為坐標原點，則|OM|=

 

．

Answer 1

分析：假設P在右支，延長F₂M交PF₁于點A，由題意：MF₂垂直PM，故|AM|=|MF₂|，|PA|=|PF₂|，因為|PF₁|-|PF₂|=|PF₁|-|PA|=|F₁A|=2a=6，O為|F₁F₂|中點，M為|AF₂|中點，由此能夠求出|OM|的值．

解答：解：假設P在右支，
延長F₂M交PF₁于點A，
由題意：MF₂垂直PM，
故|AM|=|MF₂|，|PA|=|PF₂|，
∵|PF₁|-|PF₂|=|PF₁|-|PA|=|F₁A|=2a=6，
O為|F₁F₂|中點，M為|AF₂|中點，
∴|OM|=

1

2

|AF1|=3．
故答案為：3．

點評：本題考查雙曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理選用．