Question

【題目】已知橢圓：的離心率，是橢圓上的動點，且點到橢圓焦點的距離的最小值為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的右焦點的直線交橢圓于，兩點，當時，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）根據離心率以及橢圓定義，列出方程組，求解即可得到橢圓方程；

（2）設出直線方程，聯立橢圓，由韋達定理，結合，得到直線方程，從而將面積的最值問題轉化為點到直線的距離的最值問題.

（1）根據題意可得，

故可解得，由，

故橢圓方程為.

（2）由（1）可知橢圓右焦點坐標為，

當直線斜率不存在時，即為，解得

滿足，

顯然，當且僅當點為橢圓的左頂點時，此時面積取得最大值

.

當直線斜率存在時，設直線方程為：

聯立橢圓方程

可得

因為

故可得

整理得

解得，此時直線方程為

故

又當點P在橢圓上，且過P點的切線與直線平行時，面積最大

故設該切線為

聯立橢圓方程

可得

令

解得，或(舍)

當時可得

解得，，即

由點P到直線的距離公式可得：

三角形的高，

故

又因為

故當且僅當直線的斜率不存在時，面積取得最大值.