Question

（1）判斷函數f（x）=

2x-1

x-1

在區間（1，+∞）上的單調性，并用定義法給出證明；
（2）判斷函數g（x）=x3+

1

x

的奇偶性，并用定義法給出證明．

Answer 1

（1）函數在區間（1，+∞）上是單調遞減函數．
證明：對任意的1＜x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

2x1-1

x1-1

-

2x2-1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數在區間（1，+∞）上是單調遞減函數．
（2）函數g（x）=x3+

1

x

是奇函數．
證明：函數g（x）=x3+

1

x

的定義域為{x|x≠0}，定義域關于原點對稱．
∵g(-x)=(-x)3+

1

-x

=-x3-

1

x

=-(x3+

1

x

)=-g(x)，
∴函數g（x）=x3+

1

x

是奇函數．