Question

【題目】設f（n）=（1+ ）n﹣n，其中n為正整數．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）猜想滿足不等式f（n）＜0的正整數n的范圍，并用數學歸納法證明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（n）=（1+ ）n﹣n，

∴f（1）=1，f（2）= ﹣2= ，f（3）= ﹣3= ﹣3=﹣

（2）解：猜想：n≥3，f（n）=（1+ ）n﹣n＜0，

證明：①當n=3時，f（3）=﹣ ＜0成立，

②假設當n=k（n≥3，n∈N+）時猜想正確，即f（k）= ﹣k＜0，

∴ ＜k，

則當n=k+1時，

由于f（k+1）= = （1+ ）＜ （1+ ）

＜k（1+ ）=k+ ＜k+1，

∴ ＜k+1，即f（k+1）= ﹣（k+1）＜0成立，

由①②可知，對n≥3，f（n）=（n）=（1+ ）n﹣n＜0成立

【解析】（1）由f（n）=（1+ ）n﹣n，可求得f（1），f（2），f（3）的值；（2）猜想：n≥3，f（n）=（1+ ）n﹣n＜0，再利用數學歸納法證明即可：①當n=3時，f（3）=﹣ ＜0成立；②假設當n=k（n≥3，n∈N+）時猜想正確，即 ﹣k＜0，去證明當n=k+1（n≥3，n∈N+）時，f（k+1）= ﹣（k+1）＜0也成立即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的通項公式的相關知識，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式，以及對數學歸納法的定義的理解，了解數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．