Question

【題目】已知橢圓C：（）的左，右焦點為，，且焦距為，點，分別為橢圓C的上、下頂點，滿足.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點，橢圓C上的兩個動點M，N滿足，求證：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）設，，，結合已知的向量表達式，根據平面向量加法的幾何意義可知四邊形為菱形，結合已知條件進行求解即可；

（2）根據直線是否存在斜率進行分類討論.設直線的方程，與橢圓方程聯立，結合一元二次方程根與系數的關系，結合兩平面向量垂直的性質進行求解即可.

（1）設，，，

由可知四邊形為菱形且，

故，解得，故，

橢圓C的方程為.

（2）當直線斜率存在時，設：，，.

聯立消去y得

，

，

，，

由，則，

即，

整理得，

將，代入整理得，

即，

解得或.

當時，直線：過點E，舍去；

當時，直線：過定點.

當直線斜率不存在時，不妨設，，

則由，則，

即，即，

即，解得（舍去）或，也過定點.

綜上，直線過定點.