Question

（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

已知均為正數，證明：，并確定為何值時，等號成立。

 

Answer 1

【答案】

證明：見解析

【解析】考查放縮法在證明不等式中的應用，本題在在用縮法時多次用到基本不等式，請讀者體會本題證明過程中不考慮等號是否成立的原理，并與利用基本不等式求最值再據最值成立的條件求參數題型比較．深入分析等號成立的條件什么時候必須考慮，什么時候可以不考慮．

證法一：兩次利用基本不等式放小，此處不用考慮等號成立的條件，因等號不成立不影響不等號的傳遞性．

證法二：先用基本不等式推出a²+b²+c²≥ab+bc+ac與 1a² +1 b² +1c² ≥1 ab +1 bc +1 ac

兩者之和用基本不等式放小，整體上只用了一次放縮法．其本質與證法一同．

證明：（證法一）

因為a，b，c均為正數，由平均值不等式得

                     ①

所以                   ②        

故.

又       ③

所以原不等式成立.                                

當且僅當a=b=c時，①式和②式等號成立。當且僅當時，

③式等號成立。

即當且僅當a=b=c=時，原式等號成立。

（證法二）

因為a，b，c均為正數，由基本不等式得

所以               ①

同理            ②               

故

         ③

所以原不等式成立.                            

當且僅當a=b=c時，①式和②式等號成立，當且僅當a=b=c，時，③式等號成立。

即當且僅當a=b=c=時，原式等號成立。