Question

（本小題滿分12分）設二次函數滿足下列條件：

①當∈R時，的最小值為0，且f (－1)=f(－－1)成立；

②當∈(0,5)時，≤≤2+1恒成立。

（1）求的值；    

   （2）求的解析式；

（3）求最大的實數m(m>1),使得存在實數t,只要當∈時，就有成立。

 

Answer 1

【答案】

（1）f(1)=1

（2）f(x)= (x+1)²

（3）t=-4時,對任意的x∈[1,9]

【解析】解：(2)由①知二次函數的關于直線x=-1對稱,且開口向上

故設此二次函數為f(x)=a(x+1)²,(a>0),∵f(1)=1,∴a=

∴f(x)= (x+1)²                                   

 (3)假設存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.

f(x+t)≤x(x+t+1)²≤xx²+(2t-2)x+t²+2t+1≤0.

令g(x)=x²+(2t-2)x+t²+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].

∴m≤1－t+2≤1－(－4)+2=9

t=-4時,對任意的x∈[1,9]

恒有g(x)≤0, ∴m的最大值為9.