Question

已知二次函數

（1）若試判斷函數零點個數；

（2）若對任意的,且＜，（＞0），試證明：

＞成立。

（3）是否存在，使同時滿足以下條件：①對任意，，且②對任意的,都有？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1) 零點為1個或2個;(2)見解析；(3) 。

【解析】

試題分析：（1）∵f（-1）=0，∴a-b+c=0即b=a+c，故△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）^2，

當a=c時，△=0，函數f（x）有一個零點；當a≠c時，△＞0，函數f（x）有兩個零點．

（2）-=

==

因為＜，（＞0）所以>0,即->0,

所以＞成立。

（3）假設存在a，b，c滿足題設，由條件①知拋物線的對稱軸為x=-1且f(x)_min=0；∴即，所以a=c,在條件②中令x=1，有0≤f（1）-1≤0，∴f（1）=1，即a+b+c=1，由得，所以存在使f(x)同時滿足條件①②。

考點：本題考查函數的零點與方程根的關系。

點評：本題考查函數零點個數與方程根的個數問題，以及存在性問題的處理方式，屬于較難的題目．主要分析思路（1）通過對二次函數對應方程的判別式進行分析判斷方程根的個數，從而得到零點的個數；（2）存在性問題的一般處理方法就是假設存在，然后根據題設條件求得參數的值．