Question

【題目】已知函數，為函數的導函數.

（1）若函數的最小值為0，求實數的值；

（2）若，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）令，當時根據導數判斷函數單調遞增不符合題意，當時利用導數判斷函數單調性從而求出最小值，根據最小值為0列出方程求解即可；（2）不等式化簡為，則對任意恒成立，令，利用導數求出函數的最小值，根據不等式恒成立的條件即可求得a的值.

（1），

所以，，

①當時，，所以在上單調遞增，不合題意；

②當時，時，，時，，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

，令，則，

因為時，時，

所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

所以，所以由知，解得，

即實數的值為.

（2）因為，恒成立，所以，

即對任意恒成立，

令，則，

由（1）知，，當且僅當時，等號成立，

當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，

所以 ，所以，即.

所以實數的取值范圍為.