Question

已知函數f（x）＝x－xlnx ， ，其中表示函數f（x）在

x＝a處的導數，a為正常數．

（1）求g（x）的單調區間；

（2）對任意的正實數，且，證明：

 

（3）對任意的

 

 

Answer 1

【答案】

見解析.

【解析】第一問中利用導數的，，然后判定的單調性。

第二問中，對任意的正實數，且，取，則，由（1）得，所以，

同理取，則，由（1）得，

所以，，綜合克的結論。

第三問中，對k=1,2,3…n-2，令，則

，

顯然1<x<x+k，，所以，

利用放縮法證明。

解：（1），，

．       …………………2分

所以，時，，單調遞增；

  時，，單調遞減．

所以，的單調遞增區間為，單調遞減區間為．  ………4分

（2）（法1）對任意的正實數，且，

取，則，由（1）得，

所以，……①；                     ………………………6分

取，則，由（1）得，

所以，……②．

綜合①②，得結論．  ………………………8分

（3）對k=1,2,3…n-2，令，則

，

顯然1<x<x+k，，所以，

所以，在上單調遞減．

由，得，即．

 ．        ……………10分

所以

所以，．…………14分