Question

【題目】過拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點F作斜率率分別為k1 ， k2的兩條不同直線l1 ， l2 ， 且k1+k2=2．l1與E交于點A，B，l2與E交于C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在直線記為l．
（1）若k1＞0，k2＞0，證明： ；
（2）若點M到直線l的距離的最小值為 ，求拋物線E的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，拋物線E的焦點為 ，直線l1的方程為 ．

由 ，得 ．

設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個實數根．

從而x1+x2=2pk1， ．

所以點M的坐標為 ， ．

同理可得點N的坐標為 ， ．

于是 ．

由題設k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜ ．

故 ．

（2）解：由拋物線的定義得 ， ，

所以 ，從而圓M的半徑 ．

故圓M的方程為 ，

化簡得 ．

同理可得圓N的方程為

于是圓M，圓N的公共弦所在的直線l的方程為 ．

又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，則l的方程為x+2y=0．

因為p＞0，所以點M到直線l的距離為

= ．

故當 時，d取最小值 ．由題設 ，解得p=8．

故所求拋物線E的方程為x2=16y．

【解析】（1）由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標，寫出兩條直線的方程，由兩條直線方程和拋物線方程聯立求出圓M和圓N的圓心M和N的坐標，求出向量 和 的坐標，求出數量積后轉化為關于k1和k2的表達式，利用基本不等式放縮后可證得結論；（2）利用拋物線的定義求出圓M和圓N的直徑，結合（1）中求出的圓M和圓N的圓心的坐標，寫出兩圓的方程，作差后得到兩圓的公共弦所在直線方程，由點到直線的距離公式求出點M到直線l的距離，利用k1+k2=2轉化為含有一個未知量的代數式，配方后求出最小值，由最小值等于 求出p的值，則拋物線E的方程可求．