Question

（本題滿分16分）

如圖，公園內有一塊邊長為2a的正三角形ABC空地，擬改建成花園，并在其中建一直道DE

方便花園管理. 設D、E分別在AB、AC上，且DE均分三角形ABC的面積.

（1）設AD=x（），DE=y，試將y表示為x的函數關系式；

（2）若DE是灌溉水管，為節約成本，希望其最短，DE的位置應在哪里？

     若DE是參觀路線，希望其最長，DE的位置應在哪里？

Answer 1

【解】（1）因為DE均分三角形ABC的面積，

所以，即.      …………………………2分

在△ADE中，由余弦定理得

.                 …………………………4分

因為，所以 解得.

故y關于x的函數關系式為.        …………………………6分

（2）令，則，且.

設.                                …………………………8分

若，則

所以在上是減函數. 同理可得在上是增函數. ………………11分

于是當即時，，此時DE//BC，且 ……………………13分

當或即x=a或2a時，，此時DE為AB或AC上的中線. …………15分

故當取且DE//BC時，DE最短；當D與B重合且E為AC中點，或E與C重合且D為AB中點時，DE最長.                                         …………………………16分

（注：若由，當且僅當即時取“=”號. 只得到最小值，給4分）