Question

【題目】某研究小組在電腦上進行人工降雨模擬試驗，準備用A、B、C三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨，其試驗數據統計如表

方式	實施地點	大雨	中雨	小雨	模擬實驗總次數
A	甲	4次	6次	2次	12次
B	乙	3次	6次	3次	12次
C	丙	2次	2次	8次	12次

假定對甲、乙、丙三地實施的人工降雨彼此互不影響，請你根據人工降雨模擬試驗的統計數據
（I）求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率；
（Ⅱ）考慮到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即達到理想狀態，乙地必須是大雨才達到理想狀態，丙地只能是小雨或中雨即達到理想狀態，記“甲、乙、丙三地中達到理想狀態的個數”為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由人工降雨模擬試驗的統計數據，用A，B，C三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨， 得到大雨、中雨、小雨的概率如下表：

方式	實施地點	大雨	中雨	小雨
A	甲	P（A1）=	P（A2）=	P（A3）=
B	乙	P（B1）=	P（B2）=	P（B3）=
C	丙	P（C1）=	P（C2）=	P（C3）=

記“甲、乙、丙三地都恰為中雨”為事件E，
則P（E）=P（A2）P（B2）P（C2）= = ．
（Ⅱ）設甲、乙、丙三地達到理想狀態的概率分別為p1 ， p2 ， p3 ，
則 ，p2=p（B1）= ，p3=P（C2）+P（C3）= ，
ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）= = ，
P（ξ=1）=p1（1﹣p2）（1﹣p3）+（1﹣p1）p2（1﹣p3）+（1﹣p1）（1﹣p2）p3
= + + = ，
P（ξ=2）=p1p2（1﹣p3）+（1﹣p1）p2p3+p1（1﹣p2）p3
= + = ，
P（ξ=3）=p1p2p3= = ，
∴隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

Eξ= = ．
【解析】（Ⅰ）由人工降雨模擬試驗的統計數據，用A，B，C三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨，求出大雨、中雨、小雨的概率分布表，由此利用相互獨立事件概率計算公式能求出甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率．（Ⅱ）設甲、乙、丙三地達到理想狀態的概率分別為p1 ， p2 ， p3 ， 則 ，p2=p（B1）= ，p3=P（C2）+P（C3）= ，ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列和數學期望．