Question

設橢圓的左、右焦點分別為F₁，F₂，A是橢圓上的一點，AF₂⊥F₁F₂，原點O到直線AF₁的距離為．

(Ⅰ)證明a＝；

(Ⅱ)求t∈(0，b)使得下述命題成立：設圓x²＋y²＝t²上任意點M(x₀，y₀)處的切線交橢圓于Q₁，Q₂兩點，則OQ₁⊥OQ₂．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證法一：由題設及，，不妨設點，其中 　　，由于點在橢圓上，有， 　　， 　　解得，從而得到， 　　直線的方程為，整理得 　　． 　　由題設，原點到直線的距離為，即 　　， 　　將代入原式并化簡得，即． 　　證法二： 同證法一，得到點的坐標為， 　　過點作，垂足為，易知，故 　　 　　由橢圓定義得，又，所以 　　， 　　解得，而，得，即． 　　(Ⅱ)解法一：圓上的任意點處的切線方程為． 　　當時，圓上的任意點都在橢圓內，故此圓在點處的切線必交橢圓于兩個不同的點和，因此點，的坐標是方程組 　　的解．當時，由①式得 　　 　　代入②式，得，即 　　， 　　于是， 　　 　　 　　 　　． 　　若，則 　　． 　　所以，．由，得．在區間內此方程的解為． 　　當時，必有，同理求得在區間內的解為． 　　另一方面，當時，可推出，從而． 　　綜上所述，使得所述命題成立．