Question

已知函數f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．
（I）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（II）若函數的最小值；
（III）若0＜n＜m，求證：．

Answer 1

解：（I）當a=1時，f（x）=x-1-2lnx，，
由f'（x）＞0，得x＞2；
由f'（x）＜0，得0＜x＜2．
故f（x）的單調減區間為（0，2]，單調增區間為[2，+∞）

（II）因為上恒成立不可能，
故要使函數上無零點，
只要對任意的恒成立，
即對恒成立．
令，
則，
，
綜上，若函數，則a的最小值為2-4ln2．
（III）證明：由第（I）問可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上單調遞減．
∵，∴
∴∴，
即

分析：（I）代入a的值，寫出函數的解析式，對函數求導，使得導函數大于0，求出自變量的值，寫出單調區間．
（II）根據函數無零點，得到函數的導函數小于0在一個區間上不恒成立，得到函數在這個區間上沒有零點，構造新函數，對函數求導，利用求最值得方法求出函數的最小值．
（III）要證明不等式成立，由第（I）問可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上單調遞減，得到兩個自變量的函數值之間的關系，整理出結果．
點評：本小題主要考查函數與導數等知識，考查恒成立問題，化歸與轉化的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力，本題解題的關鍵是最后一問，利用函數的單調性證明不等式．