Question

(本題滿分14分)已知函數.
(1)求函數的單調區間;
(2)若恒成立,求實數k的取值范圍;
（文科(3)證明:  .
（理科(3)證明: .

Answer 1

(1)當時,函數的遞增區間為,………2分
當時，函數的遞增區間為,減區間為 
(2) (3)見解析

(1)的定義域為,,………1分
當時,函數的遞增區間為,………2分
當時，函數的遞增區間為,減區間為.………4分
(2)由得,………5分
令,則………6分
當時,函數遞增；當時,函數遞減。………8分
，………10分
(3)由(1)可知若，當時有,………11分
即有，即,即有 (x>1), ………12
（文）令，則,,………14
(理)令，則,,………13分
= (n>1)
思路分析：（1）先求出函數的定義域，求函數的導數，討論分別求出函數的單調區間;
（2）分離參數求出函數的最大值即可；
（3）由（1）得時，，所以時有,即有，可得，令，則，
左右分別相加可證出文科的結論；理科令，求和再放縮可得結論。