Question

已知函數，，其中且．
(Ⅰ)當，求函數的單調遞增區間；
(Ⅱ)若時，函數有極值，求函數圖象的對稱中心坐標；
（Ⅲ）設函數 （是自然對數的底數），是否存在a使在上為減函數，若存在，求實數a的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)單調增區間是，；(II);（III）

解析試題分析：(Ⅰ) 為確定函數的單調區間，往往遵循“求導數、求駐點、分區間討論導數的正負、確定函數的單調性”等步驟.
(Ⅱ)為確定函數的極值，往往遵循“求導數、求駐點、分區間討論導數的正負、確定函數的極值”等步驟.
本小題根據函數有極值，建立的方程，求得，從而得到.根據的圖象可由的圖象向下平移4個單位長度得到，而的圖象關于對稱，
得到函數的圖象的對稱中心坐標.
（Ⅲ）假設存在a使在上為減函數，通過討論導函數為負數，得到的不等式，達到解題目的.
試題解析： (Ⅰ) (Ⅰ) 當，，  1分
設，即，
所以，或，  2分
單調增區間是，；  4分
(Ⅱ)當時，函數有極值，
所以，  5分
且，即，  6分
所以，
的圖象可由的圖象向下平移4個單位長度得到，而的圖象關于對稱，  7分
所以的圖象的對稱中心坐標為；  8分
（Ⅲ）假設存在a使在上為減函數，
設，
，
，  9分
設，
當在上為減函數，則在上為減函數，在上為減函數，且．  10分
由（Ⅰ）知當時，的單調減區間是，
由得：，
解得：，  11分
當在上為減函數時，對于，即恒成立，
因為，
（1）當時，在上是增函數，在是減函數，
所以在上最大值為，
故，
即，或，故；  12分
（2）當時，在上是增函數，在是減函數，
所以在