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已知橢圓的左右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，且四邊形是邊長為2的正方形.
（1）求橢圓方程；
（2）若分別是橢圓長軸的左右端點，動點滿足，連接，交橢圓于點，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線的交點？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

(1)；（2）詳見解析；（3）存在Q(0,0)

解析試題分析：(1)根據橢圓的簡單幾何性質易得；(2)可設，寫出直線CM的方程，與橢圓方程聯立，把P的坐標用表示，然后進行平面向量的坐標運算即可；（3）對于存在性問題，可先假設定點存在，然后向量進行坐標運算求出Q（0，0）滿足條件.
試題解析：（1），，橢圓方程為,4分
（2），設，則,
直線：，即，
代入橢圓得,
，，，
（定值）,10分
（3）設存在滿足條件，則,

從而得m=0，∴存在Q（0，0）滿足條件.14分
考點：(1)橢圓的簡單幾何性質；（2）平面向量的坐標運算；（3）存在性問題.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知圓，經過橢圓的右焦點F及上頂點B，過圓外一點傾斜角為的直線交橢圓于C，D兩點，
（1）求橢圓的方程；
（2）若右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：（a>b>0），過點(0，1)，且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)A，B為橢圓C的左右頂點，直線l：x=2與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A，B的動點，直線AP，BP分別交直線l于E，F兩點．證明：當點P在橢圓C上運動時，恒為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，點是橢圓的一個頂點，的長軸是圓的直徑，、是過點且互相垂直的兩條直線，其中交圓于、兩點，交橢圓于另一點.

（1）求橢圓的方程；
（2）求面積的最大值及取得最大值時直線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切。
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓相交于、兩點，且，試判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知點點分別是軸和軸上的動點，且，動點滿足，設動點的軌跡為E.
（1）求曲線E的方程；
（2）點Q（1,a），M,N為曲線E上不同的三點，且，過M,N兩點分別作曲線E的切線，記兩切線的交點為，求的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，長軸的左右端點分別為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）設動直線與曲線有且只有一個公共點，且與直線相交于點.問在軸上是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點，若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，一個焦點F(-2,0)，且長軸長與短軸長的比為，
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點M(m,0)在橢圓C的長軸上，設點P是橢圓上的任意一點，若當最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數m的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是橢圓上不同的三點，，，在第三象限，線段的中點在直線上．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設動點在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點，證明為定值并求出該定值．

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