Question

【題目】已知數列中，，且點在直線上；

（1）若數列滿足：，是數列的前項和，求.

（2）是否存在同時滿足以下兩個條件的三角形？如果存在，求出相應的三角形的三邊以及，的值，如果不存在，說明理由.

條件1：三邊長是數列中的連續三項，其中；

條件2：最小角是最大角的一半.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，三邊長分別為：，，； 或或

【解析】

（1）將點坐標代入直線方程,可知數列為等差數列,即可求得數列的通項公式.將數列的通項公式代入即可求得數列的通項公式,即可由裂項求和法求得數列的前項和.

（2）根據題意,假設存在這樣的三角形.設出三角形的三條邊,利用換元法令,用表示出三條邊.由結合正弦定理與余弦定理,即可解得的值,進而求得的值.再反代回原式檢驗即可.

（1）由條件可知,則是公差為,首項為的等差數列,

則,

則,

所以

,

化簡得.

（2）假設滿足條件的三角形存在,設其三邊長分別為,,,

記,

則三邊長分別為,,,又記這三邊對應的三個角分別為,,,

則由題有,則在中,由正弦定理可知：,

即,

又在中,由余弦定理知,

整理可得,解得,

則,又,則,的取值分別為,或,

三角形的三邊長分別為：,,.

經檢驗,三邊長分別為,,的三角形滿足題中條件,故滿足條件的三角形存在,

其中,,的取值分別為,或,

三角形的三邊長分別為,,.