Question

已知數列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2），且a₁=2．
（Ⅰ）設b_n=

an

2n

，求證數列{b_n}為等差數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）在等式兩邊同除以2ⁿ，利用等差數列的定義即可證得結論；
（II）由于通項是一個等差數列與一個等比數列的積構成的新數列，利用錯位相減法求出數列的前n項和．

解答：解：（I）∵an=2an-1+2n(n≥2)
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1
即

an

2n

-

an-1

2n-1

=1
∵bn=

an

2n

∴b_n-b_n-1=1
∴數列{b_n}是公差為1，首項為1的等差數列；
（II）bn=

an

2n

=1+(n-1)×1=n，∴a_n=n×2ⁿ
∴S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n×2ⁿ
∴2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減得：-S_n=2¹+2²+2³+…+2•ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2

點評：本題主要考查數列遞推關系式的應用以及等差關系的確定，考查錯位相減法求數列的和，確定數列的通項是關鍵，屬于中檔題．