Question

定義在R上的函數及二次函數滿足：且。

（1）求和的解析式；

（2）；

（3）設，討論方程的解的個數情況．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）當時,方程有個解;

當時,方程有個解;當時,方程有個解;當時,方程有個解.

【解析】

試題分析：（1）求函數解析式，滿足可利用方程組求解，由解得: ，而為二次函數，其解析式應用待定系數法求解可設，再根據三個條件且，列三個方程組解得，（2）不等式恒成立問題常轉化為最值問題，本題轉化為左邊最小值不小于右邊最大值，右邊函數無參數，先根據導數求出其最大值，這樣就轉化為二次函數恒不小于零的問題，利用實根分布可得到充要條件所以（3）研究解的個數問題，需先研究函數圖像，解方程，實際有兩層，由解得；再由得兩個解，由得三個解，結合這些解的大小，可得到原方程解得情況.

試題解析：(1) ,①

即②

由①②聯立解得: . 2分

是二次函數, 且,可設,

由,解得.

. 4分

(2)設,

,

依題意知:當時,

,在上單調遞減,

6分

在上單調遞增,

解得:

實數的取值范圍為. 9分

(Ⅲ)設,由(2)知,

的圖象如圖所示:

設,則

當,即時, ,有兩個解, 有個解;

當,即時, 且,

有個解; 2分

當,即時, ,有個解;

當,即時, ,有個解. 13分

綜上所述:

當時,方程有個解;

當時,方程有個解;

當時,方程有個解;

當時,方程有個解. 14分

考點：函數解析式的多種求法，不等式恒成立問題轉化，函數與方程