Question

在1與2之間插入n個正數A₁,A₂,A₃,…,A_n,使這n+2個數成等比數列；又在1與2之間插入n個正數B₁,B₂,B₃,…,B_n，使這n+2個數成等差數列.記A_n=A₁A₂A₃…A_n,B_n=B₁+B₂+…+

B_n.

(1)求數列{A_n} 和{B_n}的通項；

(2)當n≥7時，比較A_n與B_n的大小，并證明你的結論.

Answer 1

解析：(1)∵1，a₁,a₂,a₃,…,a_n，2成等比數列，?

∴a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…=a_ka_n-k+1=…=1×2=2.?

∴A_n²=(a₁a_n)(a₂a_n-1)(a₃a_n-2)…(a_n-1a₂)(a_na₁)=(1×2)=2.

∴A_n=2.?

∵1,b₁,b₂,b₃,…,b_n，2成等差數列，?

∴B_n=()n=n.?

∴數列{A_n}的通項A_n=2，數列{B_n}的通項B_n=n.?

(2)∵A_n=2,?

B_n=n,

?

∴A_n²=2ⁿ,B_n²=n²,要比較A_n與B_n的大小，只需比較A_n²與B_n²的大小，也就是比較當n≥7,2ⁿ與n²的大小.?

當n=7時，2ⁿ=128，n²=×49=110,知2ⁿ＞n².?

經驗證，n=8，n=9時，均有2ⁿ＞n²成立,猜想,

當n≥7時有2ⁿ＞n²，下面用數學歸納法證明:

①當n=7時，已證2ⁿ＞n²,?

②假設n=k(k≥7)時，不等式成立，即2^k＞k²?,

那么，當n=k+1時，?

2^k+1=2·2^k＞2·k²?

=［(k+1)²+k²-2k-1］?

=［(k+1)²+k(k-2)-1］.?

∵k≥7,?

∴k(k-2)≥35,k(k-2)-1＞0.?

∴［(k+1)²+k(k-2)-1］＞(k+1)².?

故2^k+1＞ (k+1)²,即n=k+1時不等式也?成立.??

根據①②,當n≥7時，2ⁿ＞n²成立,即A_n²＞B_n²,

∴A_n＞B_n.