Question

已知函數與的圖像都過點，且它們在點處有公共切線.

（1）求函數和的表達式及在點處的公切線方程；

（2）設，其中，求的單調區間.

 

Answer 1

【答案】

（1），，；

（2）當時，F(x)的單調減區間是 單調增區間是；

當時，F(x)沒有單調減區間，單調增區間是.

【解析】

試題分析：(1)因為函數和有公共的切線，所以切線的斜率相同，又因為它們都過，所以可以列出方程，求出；（2）先求導數，求出函數的定義域，通過討論的正負，求導求單調區間.

試題解析：(1)∵過點

∴，,                                         （2分）

∵，∴切線的斜率.

∵，  （1）

又∵的圖像過點∴  （2）

聯立（1）（2）解得：                                 （4分）

∴；切線方程為，即

∴，；切線為：       （6分）

（2）∵，

∴                             （9分）

①當時，，  ∵，∴

又，∴當時， ；

當時，.

∴的單調減區間是 單調增區間是；        （11分）

②當時，顯然沒有單調減區間，單調增區間是.     （13分）

考點：1.利用導數求切線方程；2.利用導數求單調區間.