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(理) 已知,其中是自然常數,[

(1)討論時, 的單調性、極值;

(2)求證:在(Ⅰ)的條件下,;

(3)是否存在實數,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

 

【答案】

(1)當時,f(x)單調遞減;當,f(x)單調遞增 ;極小值為f(1)=1  ;

(2)  ;(3)    .

【解析】第一問中利用導數,然后對x討論,因為x>0,那么分為兩段討論得到函數的單調性,和極值。

           

解:(Ⅰ) ……1分

∴當時,,此時f(x)單調遞減

時,,此時f(x)單調遞增    ……3分

∴f(x)的極小值為f(1)=1                         ……4分

(Ⅱ) f(x)的極小值為1,即f(x)在(0,e】上的最小值為1,

∴,                   ……5分

 ……6分

時,,在(0,e】上單調遞增  ……7分

 

∴在(1)的條件下,           ……9分

(Ⅲ)假設存在實數a,使)有最小值3,

                      ……10分

①    當時,上單調遞減,,(舍去),所以,此時無最小值.             ……12分

②當時,上單調遞減,在上單調遞增

,滿足條件.  ……13分

③ 當時,上單調遞減,,(舍去),所以,此時無最小值.綜上,存在實數,使得當有最小值3.

…………………………………………………………………………………………………….14分

 

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已知向量,其中,,把其中所滿足的關系式記為,若函數為奇函數.

(1) 求函數的表達式;

(2) 已知數列的各項都是正數, 為數列的前項和,且對于任意,都有“的前和”等于,求數列的通項式;

(3) 若數列滿足,求數列的最小值.

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       (II)要使函數的極小值大于零,求參數的取值范圍;

       (III)若對(II)中所求的取值范圍內的任意參數,函數在區間內都是增函數,求實數的取值范圍。

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