Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為R，對任意實數x，y滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+，且f（）=0，當x＞時，f（x）＞0．給出以下結論

①f（0）=-

②f（-1）=-

③f（x）為R上減函數

④f（x）+為奇函數；

⑤f（x）+1為偶函數

其中正確結論的有（　　　　）個

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①，由題意和x，y的任意性，取x=y=0代入可得f（0）；

②，取x=，y=-，可得f（-），取x=y=-代入可得f（-1）；

③，由①②知f（0）＞f（-1），f（x）不為R上的減函數；

④，令y=-x代入可得f（x）++f（-x）+=0；

⑤，f（）+1≠f（-）+1，可得f（x）+1不為偶函數．

對于①，由題意和x，y的任意性，取x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）+，可得f（0）=f（0）+f（0）+，則f（0）=-，故①正確；

對于②，取x=，y=-，可得f（0）=f（）+f（-）+，得f（-）=-1，取x=y=-，可得f（-1）=f（-）+f（-）+=-，故②正確；

對于③，由①②知f（0）＞f（-1），∴f（x）不為R上的減函數，故③錯；

對于④，令y=-x，代入可得f（0）=f（x）+f（-x）+，則f（x）++f（-x）+=0，即f（x）+為奇函數，故④正確；

對于⑤，∵f（）+1=1，f（-）+1=0，∴f（x）+1=f（-x）+1不恒成立，則f（x）+1不為偶函數，故⑤錯．

∴其中正確結論的有3個．

故選：C．