Question

【題目】已知函數，

（1）當時，求的單調區間；

（2）當，討論的零點個數；

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間為：，；單調遞增區間為：，；（2）當時，在上有2個零點，當時，在上無零點.

【解析】

（1）先判斷為偶函數，再利用導數研究上的單調性，根據偶函數的對稱性，得到答案.（2）先求出導函數，然后對按照，，進行分類討論，當，得到在單調遞增，結合，判斷出此時無零點，當，得到單調性，結合，的值，以及偶函數的性質，得到零點個數.

解：∵∴為偶函數，

只需先研究

當，，當，，

所以在單調遞增，在，單調遞減

所以根據偶函數圖像關于軸對稱，

得在單調遞增，在單調遞減，

.故單調遞減區間為：，；單調遞增區間為：，

（2）

①時，在恒成立

∴在單調遞增

又，所以在上無零點

②時，，

使得，即.

又在單調遞減，

所以，，，

所以，單調遞增，，單調遞減，

又，

（i），即時

在上無零點，

又為偶函數，所以在上無零點

（ii），即

在上有1個零點，

又為偶函數，所以在上有2個零點

綜上所述，當時，在上有2個零點，當時，在上無零點.