Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a1=-

2

3

，滿足Sn+

1

Sn

+2=an(n≥2)，計算S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表達式．

Answer 1

分析：由題設可得 S_n-1S_n+2S_n+1=0，求得S₁，S₂，S₃ 的值，猜測S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊；用數學歸納法證明，檢驗n=1時，猜想成立；假設S_K=-

K+1

K+2

，則當n=k+1時，由條件可得，SK+1+

1

SK+1

=SK+1-SK-2，解出 S_K+1=-

K+2

K+3

，故n=k+1時，猜想仍然成立．

解答：解：由題設得S_n²+2S_n+1-a_nS_n=0，當n≥2（n∈N^*）時，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式，得S_n-1S_n+2S_n+1=0．（*）
S₁=a₁=-

2

3

，
∵S_n+

1

Sn

=a_n-2（n≥2，n∈N），令n=2可得
，S₂+

1

S2

=a₂-2=S₂-a₁-2，
∴

1

S2

=

2

3

-2，
∴S₂=-

3

4

．
同理可求得 S₃=-

4

5

，S₄=-

5

6

．
猜想S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊，下邊用數學歸納法證明：
①當n=1時，S₁=a₁=-

2

3

，猜想成立．
②假設當n=k時猜想成立，即S_K=-

K+1

K+2

，則當n=k+1時，∵S_n+

1

Sn

=a_n-2，∴SK+1+

1

SK+1

=ak+1-2，
∴SK+1+

1

SK+1

=SK+1-SK-2，∴

1

SK+1

=

K+1

K+2

-2=

-K-3

K+2

，
∴S_K+1=-

K+2

K+3

，∴當n=k+1時，猜想仍然成立．
綜合①②可得，猜想對任意正整數都成立，即 S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊成立．

點評：本題考查歸納推理，用數學歸納法證明等式，證明當n=k+1時，S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊，是解題的難點．