Question

已知函數

（Ⅰ）時，求在處的切線方程；

（Ⅱ）若對任意的恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）當時，設函數，若，求證：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將代入，求導即得；（Ⅱ），即在上恒成立. 不等式恒成立的問題，一般有以下兩種考慮，一是分離參數，二是直接求最值.在本題中，設，則，這里面不含參數了，求的最大值比較容易了，所可直接求最大值.（Ⅲ）本題首先要考慮的是，所要證的不等式與函數有什么關系？待證不等式可作如下變形：

 ，最后這個不等式與有聯系嗎？我們再往下看.

,所以在上是增函數.

因為，所以

即從這兒可以看出，有點聯系了.

同理，

所以，

與待證不等式比較，只要問題就解決了，而這由重要不等式可證，從而問題得證.

試題解析：（Ⅰ），，所以切線為：即.         3分

（Ⅱ）,，即在上恒成立

設，，時，單調減，單調增，

所以時，有最大值.，

所以.          8分

法二、可化為.

令，則，所以

所以.

（Ⅲ）當時，, ,所以在上是增函數，上是減函數.

因為，所以

即，同理.

所以

又因為當且僅當“”時，取等號.

又，,

所以，所以，

所以：.          14分

考點：1、導數的應用；2、不等式的證明.