Question

（1）已知函數f（x）=rx-x^r+（1-r）（x＞0），其中r為有理數，且0＜r＜1，求f（x）的最小值；
（2）試用（1）的結果證明如下命題：設a₁≥0，a₂≥0，b₁，b₂為正有理數，若b₁+b₂=1，則≤a₁b₁+a₂b₂；
（3）請將（2）中的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題。注：當α為正有理數時，有求導公式（x^α）^′=αx^α-1 。

Answer 1

解：（1）求導函數可得：f′（x）=r（1-x^r-1），
令f′（x）=0，解得x=1；
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上是減函數；
當x＞1時，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，1）上是增函數
所以f（x）在x=1處取得最小值f（1）=0；
（2）由（1）知，x∈（0，+∞）時，有f（x）≥f（1）=0，即x^r≤rx+（1-r）①
若a₁，a₂中有一個為0，
則≤a₁b₁+a₂b₂成立；
若a₁，a₂均不為0，
∵b₁+b₂=1，
∴b₂=1-b₁，
∴①中令，可得≤a₁b₁+a₂b₂成立
綜上，對a₁≥0，a₂≥0，b₁，b₂為正有理數，
若b₁+b₂=1，則≤a₁b₁+a₂b₂；② 。
（3）（2）中的命題推廣到一般形式為：設a₁≥0，a₂≥0，…，a_n≥0，b₁，b₂，…，b_n為正有理數，若b₁+b₂+…+b_n=1，則≤a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n；③
用數學歸納法證明：
（i）當n=1時，b₁=1，a₁≤a₁，③成立
（ii）假設當n=k時，③成立，即a₁≥0，a₂≥0，…，a_k≥0，b₁，b₂，…，b_k為正有理數，若
b₁+b₂+…+b_k=1，則≤a₁b₁+a₂b₂+…a_kb_k
當n=k+1時，a₁≥0，a₂≥0，…，a_k+1≥0，b₁，b₂，…，b_k+1為正有理數，
若b₁+b₂+…+b_k+1=1，
則1-b_k+1＞0
于是=（）=
∵
∴≤
=
∴≤·（1-b_k+1）
∴
∴當n=k+1時，③
成立由（i）（ii）可知，對一切正整數，推廣的命題成立。