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已知橢圓W的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，兩條準線間的距離為6. 橢圓W的左焦點為，過左準線與軸的交點任作一條斜率不為零的直線與橢圓W交于不同的兩點、，點關于軸的對稱點為.

（Ⅰ）求橢圓W的方程；

（Ⅱ）求證： ()；

（Ⅲ）求面積的最大值.

（Ⅰ）橢圓W的方程為

（Ⅱ）見解析

（Ⅲ）面積的最大值為


解析:

（Ⅰ）設橢圓W的方程為，由題意可知

解得，，，

所以橢圓W的方程為．……………………………………………4分

（Ⅱ）解法1：因為左準線方程為，所以點坐標為.于是可設直線 的方程為．

得.

由直線與橢圓W交于、兩點，可知

，解得．

設點，的坐標分別為，,

則，，，．

因為，，

所以，.

又因為

，

所以．    ……………………………………………………………10分

解法2：因為左準線方程為，所以點坐標為.

于是可設直線的方程為，點，的坐標分別為，,

則點的坐標為，，．

由橢圓的第二定義可得

,

所以，，三點共線，即．…………………………………10分

(Ⅲ)由題意知

 

    

     ，

當且僅當時“=”成立，

所以面積的最大值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓w的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，離心率為
6
3
，△ABC的頂點A，B在橢圓w上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求橢圓w的方程；
（2）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；
（3）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓W的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
6
3
，兩條準線間的距離為6．橢圓W的左焦點為F，過左準線與x軸的交點M任作一條斜率不為零的直線l與橢圓W交于不同的兩點A、B，點A關于x軸的對稱點為C．
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）求證：
CF
=λ
FB
（λ∈R）；
（Ⅲ）求△MBC面積S的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓W的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
6
3
，焦距為4，橢圓W的左焦點為F，過點M（-3，0）任作一條斜率不為零的直線l與橢圓W交于不同的兩點A、B，點A關于x軸的對稱點為C．
（1）求橢圓W的方程；
（2）
CF
=λ
FB
（λ∈R）是否成立？并說明理由；
（3）求△MBC面積S的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•南寧模擬）已知橢圓W的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
6
3
，兩條準線間的距離為6，橢圓的左焦點為F，過左焦點與x軸的交點M任作一條斜率不為零的直線l與橢圓W交于不同的兩點A、B，點A關于x軸的對稱點為C．
（1）求橢圓W的方程；
（2）求證：
CF
=λ
FB
(λ∈R)．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓W的中心在原點，焦點在X軸上，離心率為
6
3
，橢圓短軸的一個端點與兩焦點構成的三角形的面積為2
2
，橢圓W的左焦點為F，過x軸的一點M（-3，0）任作一條斜率不為零的直線L與橢圓W交于不同的兩點A、B，點A關于X軸的對稱點為C．
（1）求橢圓W的方程；
（2）求證：
CF
=λ
FB
（λ∈R）；
（3）求△MBC面積S的最大值．

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