Question

【題目】設等差數列{an}的前n項和為Sn ， 已知a3=24，S11=0．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{an}的前n項和Sn；
（Ⅲ）當n為何值時，Sn最大，并求Sn的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，∵a3=24，S11=0，
∴a1+2d=24，a1+55d=0，
解之得a1=40，d=﹣8，∴an=48﹣8n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a1=40，an=48﹣8n，
∴Sn= =﹣4n2+44n．
（Ⅲ）由（Ⅱ）有，Sn=﹣4n2+44n=﹣4（n﹣5.5）2+121，
故當n=5或n=6時，Sn最大，且Sn的最大值為120
【解析】（Ⅰ）分別利用等差數列的通項公式及等差數列的前n項和的公式由a3=24，S11=0表示出關于首項和公差的兩個關系式，聯立即可求出首項與公差，即可得到數列的通項公式；（Ⅱ）根據（Ⅰ）求出的首項與公差，利用等差數列的前n項和的公式即可表示出Sn；（Ⅲ）根據（2）求出的前n項和的公式得到Sn是關于n的開口向下的二次函數，根據n為正整數，利用二次函數求最值的方法求出Sn的最大值即可．
【考點精析】本題主要考查了等差數列的性質的相關知識點，需要掌握在等差數列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數列是等差數列才能正確解答此題．