Question

【題目】如圖，在棱長為2的正方體OABC﹣O′A′B′C′中，E，F分別是棱AB，BC上的動點．
（1）當AE=BF時，求證A′F⊥C′E；
（2）若E，F分別為AB，BC的中點，求直線O′B與平面B′EF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以CC'為z軸，CO為x軸，CB為y軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

設F（0，y，0），∵AE=BF，∴BE=CF，∴E（y，2，0），

又A′（2，2，2），C′（0，0，2），

∴ =（﹣2，y﹣2，﹣2）， =（y，2，﹣2），

∵ =﹣2y+2y﹣4+4=0，

∴ ⊥ ，∴A′F⊥C′E

（2）證明：解：E（1，2，0），F（0，1，0），B'（0，2，2），

， =（0，1，2），

設平面B'EF的法向量為 ，

則 ，取x=2，則z=1，y=﹣2，

又O′（2，0，2），B（0，2，0）， =（﹣2，2，﹣2），

設O′B與平面B′EF所成的角為θ，

則sinθ=|cos＜ ， ＞|= = ，

即直線O′B與平面B′EF所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）以CC'為z軸，CO為x軸，CB為y軸建立空間直角坐標系，利用向量法能證明A′F⊥C′E．（2）求出平面B'EF的法向量和 ，利用向量法能求出直線O′B與平面B′EF所成角的正弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．