Question

【題目】已知點，圓.

（1）若直線過點且到圓心的距離為，求直線的方程；

（2）設過點的直線與圓交于、兩點（的斜率為負），當時，求以線段為直徑的圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）直線的方程為或；（2）.

【解析】

（1）根據點到直線的距離公式解得；

（2）先通過點到直線的距離及勾股定理可解得直線的斜率，設點，聯立直線與圓的方程，消元列出韋達定理，可得的中點坐標即圓心坐標，從而得到圓的方程；

解：（1）由題意知，圓的標準方程為，圓心，半徑，

①當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，

則圓心到直線的距離為，.

直線的方程為；

②當直線的斜率不存在時，直線的方程為，

此時圓心到直線的距離為2，符合題意.

綜上所述，直線的方程為或；

（2）依題意可設直線的方程為，即，

則圓心到直線的距離，

，解得或，

又，，直線的方程為即，

設點，聯立直線與圓的方程得，

消去得，，

則線段的中點的橫坐標為，把代入直線中得，

所以，線段的中點的坐標為，

由題意知，所求圓的半徑為：，

以線段為直徑的圓的方程為：.