Question

y=f(x)的定義域為R,對任意實數m、n有f(m+n)=f(m)f(n),且當x＜0時,f(x)＞1,數列{a_n}滿足a₁=f(0)且f(a_n+1)=(n∈N^*).

(1)求證:y=f(x)在R上的單調遞減;

(2)求數列{a_n}的通項公式;

(3)是否存在正數k,使(1+)·(1+)·…·(1+)≥k·對一切n∈N^*均成立,若存在,試求出k的最大值并證明,若不存在,說明理由.

Answer 1

思路分析：本題為數列與數學歸納法的綜合問題,解題的基本思路是:“觀察—歸納—猜想—證明”.

解：(1)令m=-1,n=0,則f(-1)=f(-1)f(0),而f(-1)＞1,∴f(0)=1.

    令m=x＞0,n=-x＜0,則f(x-x)=f(x)·f(-x)=1.

∴f(x)=∈(0,1),即x＞0時0＜f(x)＜1.

    設x₁＜x₂則x₂-x₁＞0,∴0＜f(x₂-x₁)·f(x₁)-f(x₁)=f(x₁)［f(x₂-x₁)-1］＜0,∴f(x)＜f(x₁).

∴y=f(x)在R上單調遞減.

(2)由f(a_n+1)=,n∈N^*,得f(a_n+1)·f(-2-a_n)=1.

∴f(a_n+1-a_n-2)=f(0).由(1)知a_n+1-a_n-2=0,

    即a_n+1-a_n=2(n∈N^*),∴{a_n}是首項為a₁=1,公差為2的等差數列,∴a_n=2n-1.

(3)假設存在正數k,使(1+)(1+)…(1+)≥k·對n∈N^*恒成立,記F(n)=,

    即=＞1.

∴F(n)是遞增數列,F(1)為最小值.

    由F(n)≥k恒成立知k≤F(1)=,∴kmax=.

    另解:令n=1,得k≤,存在k=使(1+)(1+)…(1+)≥·.

    證明如下:當n=1時成立;

    設n=k時成立,則n=k+1時,a_k+1=2k+1,

(1+)(1+)…(1+)(1+)≥·2k+1(1+)

==≥

=.

    由歸納原理知k=符合題意.