Question

增函數y=f（x），（x∈R）對任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求f（0）
（Ⅱ）求證f（x）為奇函數；
（Ⅲ）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x+3）＜0對任意k∈[-1，1]恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據恒等式，賦值x=y=0，即可求得f（0）的值；
（Ⅱ）根據恒等式，賦值y=-x，即可得f（-x）+f（x）=f（0），再根據（Ⅱ）中的結論，即可得到f（-x）=-f（x），根據奇函數的定義，即可證明結論；
（Ⅲ）根據（Ⅱ）中的結論，函數f（x）為奇函數，將不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x+3）＜0轉化為f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x-3），再根據已知條件函數f（x）為R上的增函數，利用單調性去掉“f”，將不等式轉化為k•3^x＜-3^x+9^x-3對任意k∈[-1，1]成立，構造函數g（k）=3^2x-（1+k）•3^x-3，利用一次函數的性質，即可得到不等式組，求解不等式組，即可得到實數x的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y），得f（0+0）=f（0）+f（0），
即 f（0）=0；
（Ⅱ）令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y），得 f（x-x）=f（x）+f（-x），
又∵f（0）=0，
∴0=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x）對任意x∈R成立，
∴f（x）是奇函數；
（Ⅲ）∵f（x）在R上是增函數，又由（Ⅱ）知f（x）是奇函數，
∴f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x+3）=f（-3^x+9^x-3），
∴k•3^x＜-3^x+9^x-3，
即3^2x-（1+k）•3^x-3＞0對任意k∈[-1，1]成立，
令g（k）=3^2x-（1+k）•3^x-3，
則

g(-1)＞0 g(1)＞0

，
即

32x-3＞0 32x-2•3x-3＞0

，
即

x＞ 1 2 x＞1

，
∴x＞1，
∴實數x的取值范圍是x＞1．

點評：本題考查了抽象函數及其應用，函數單調性的應用和奇偶性的證明，函數的恒成立問題．證明函數的奇偶性要抓住函數奇偶性的定義，函數的恒成立問題一般選用參變量分離法、最值法、數形結合進行求解．屬于中檔題．