Question

（2012•河北模擬）如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，梯形ABCD（AB∥CD∥y軸，|AB|＞|CD|）內接于橢圓C．
（I）設F是橢圓的右焦點，E為OF（O為坐標原點）的中點，若直線AB，CD分別經過點E，F，且梯形ABCD外接圓的圓心在直線AB上，求橢圓C的離心率；
（II）設H為梯形ABCD對角線的交點，|AB|=2m，|CD|=2n，|OH|=d，是否存在正實數λ使得

m-n

d

≤

λb

a

恒成立？若成立，求出λ的最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用梯形ABCD外接圓的圓心在直線AB上，可得|AE|=|ED|，由此建立方程，求得幾何量之間的關系，從而可求橢圓C的離心率；
（II）先確定H在x軸上，再利用韋達定理表示出m-n，進而利用基本不等式，即可求得結論．

解答：解：（I）設F（c，0），則E（

c

2

，0），D（c，

b2

a

），A（

c

2

，

b 4a2-c2

2a

）
由題意，梯形ABCD外接圓的圓心在直線AB上，則|AE|=|ED|，所以

b2(4a2-c2)

4a2

=

c2

4

+

b4

a2

化簡得2a²=3c²，所以橢圓的離心率e=

c

a

=

6

3

；
（II）根據對稱性知識，可得H在x軸上，設H（x₀，0），則|x₀|=d
設直線BD的方程為x=ty+x₀，代入橢圓方程，消去x得（a²+b²t²）y²+2x0tb2y+

b2x

2 0

-a2b2=0
設B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

2x0tb2

a2+b2t2

由題意，m=|y₁|，n=|y₂|，且y₁，y₂異號
∵m＞n＞0
∴m-n=|y₁+y₂|=|-

2x0tb2

a2+b2t2

|=

2d|t|b2

a2+b2t2

∴

m-n

d

=

2|t|b2

a2+b2t2

=

2b2

a2 |t| |+b2|t|

≤

2b2

2ab

=

b

a

∴存在正實數λ使得

m-n

d

≤

λb

a

恒成立，且λ的最小值為1．

點評：本題考查橢圓的離心率，考查存在性問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．