Question

(本小題滿分12分)函數，．
（Ⅰ）求的單調區間和最小值；
（Ⅱ）討論與的大小關系；
（Ⅲ）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）在是函數的減區間;是函數的增區間.的最小值是．（II）當時，；當時，．
（Ⅲ）不存在.

試題分析：（1）∵，∴（為常數），又∵，所以，即，
∴；，∴，令，即，解得，
因為＞，所以＜0，＜0，
當時，，是減函數，故區間在是函數的減區間；
當時，，是增函數，故區間在是函數的增區間；
所以是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，
所以的最小值是．…………4分
（2），設，則，
當時，，即，當時，，，
因此函數在內單調遞減，當時，=0，∴；
當時，=0，∴．…………8分
（3）滿足條件的不存在．證明如下：
證法一 假設存在，使對任意成立，
即對任意有              ①
但對上述的，取時，有，這與①左邊的不等式矛盾，
因此不存在，使對任意成立．  …………12分
證法二 假設存在，使對任意成立，
由（1）知，的最小值是，
又，而時，的值域為，
∴當時，的值域為，
從而可以取一個值，使，即,∴
，這與假設矛盾．
∴不存在，使對任意成立
點評：利用導數求函數的單調區間，一定要先求函數的定義域。此題的綜合性較強，對學生的能力要求較高。