Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側面是菱形，為的中點，為等腰直角三角形，，且.

（1）求證：平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）推導出，連結，設，則，推導出,由此能證明.

（2）方法一：設與平面所成角為，點到平面的距離為,,由,求出,由此能求出與平面所成角的正弦值．

方法二:用向量法求解線面成角的正弦值, 由(1)可知面面，因為，

所以面.建立坐標系,令與平面所成角為，

可求出面的法向量為,即可求出,即與平面所成角的正弦值.

（1）證明：因為為的中點，，所以.

連接，如圖（1）所示.

設，因為四邊形是菱形，為的中點，，

∴.

又為等腰直角三角形，，，所以，

則.

又因為，

所以平面.

（2）法一：如圖（1），令與平面所成角為，點到平面的距離為，，由（1）可知，平面.

則，

所以.

又因為，

所以易求得，

所以，

由此可得，

所以，

則，

即與平面所成角的正弦值為.

法二：由（1）可知面面，因為，

所以面.

按圖（2）方式建立坐標系，令與平面所成角為，

則，，

則，

令面的法向量為，

則，

即，

即，

令，則，，

即,

即與平面所成角的正弦值為.