Question

已知函數f(x)=x³+ax²+bx+1(a、b∈R,b≥-2)在區間［-,］單調遞減,設g(x)=-3f(x)+mx²-6x(m∈R).

(1)求函數f(x)的解析式.

(2)若x∈R⁺時,g′(x)≤恒成立,求實數m的取值范圍.

Answer 1

解:(1)f′(x)=x²+ax+b,∵f(x)在［-,］遞減,∴x∈［-,］時f′(x)≤0恒成立,

f′()=2+a+b≤0,①f′(-)=2-a+b≤0,②

①+②得4+2b≤0,∴b≤-2.又∵b≥-2,∴b=-2.∴f′(x)=x²+ax-2.

若≤0,即a≥0時,則f′()=2+a-2≤0,即a≤0,∴a=0.

若＞0,即a＜0時,則f′(-)=2-a-2≤0,即a≥0與a＜0矛盾,∴舍去.綜上a=0.

∴f(x)=x³-2x+1.

(2)g(x)=-3(x³-2x+1)+mx²-6x=-x³+mx²-3,∴g′(x)=-3x²+2mx≤(x∈R)在x∈R⁺時恒成立.

∴2mx≤3x²+.∵x＞0,∴m≤(3x+)在x∈R⁺時恒成立.

x＞0時,3x+≥2,即3x+的最小值為2.∴m≤·2,即m≤1.