Question

直線l：y=k（x-1）過已知橢圓經過點（0，），離心率為，經過橢圓C的右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，點A、F、B在直線x=4上的射影依次為點D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且，當直線l的傾斜角變化時，探求λ+μ的值是否為定值？若是，求出λ+μ的值，否則，說明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試探索當直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設知，因為a²=b²+c²a²=4，c²=1，∴橢圓C的方程（3分）
（Ⅱ）易知直線l的斜率存在，設直線l方程y=k（x-1），且l與y軸交于M（0，-k），設直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴（6分）
又由，
∴（x₁，y₁）=λ（1-x₁，-y₁），
∴，同理∴（8分）
∴
所以當直線l的傾斜角變化時，λ+μ的值為定值；（10分）
（Ⅲ）當直線l斜率不存在時，直線l⊥X軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交FK的中點
猜想，當直線l的傾斜角變化時，AE與BD相交于定點（11分）
證明：由（Ⅱ）知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（4，y₁），E（4，y₂）
當直線l的傾斜角變化時，首先證直線AE過定點∵
當時，==∴點在直線l_AE上，同理可證，點也在直線l_BD上；∴當m變化時，AE與BD相交于定點
分析：（Ⅰ）由題設知，因為a²=b²+c²a²=4，c²=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設直線l方程y=k（x-1），且l與y軸交于M（0，-1），設直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，再由韋達定理結合題設條件能夠推導出當直線l的傾斜角變化時，λ+μ的值為定值．
（Ⅲ）當直線l斜率不存在時，直線l⊥X軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交FK的中點猜想，當直線l的傾斜角變化時，AE與BD相交于定點．
證明：由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），知D（4，y₁），E（4，y₂）．當直線l的傾斜角變化時，首先證直線AE過定點再證點也在直線l_BD上；所以當m變化時，AE與BD相交于定點．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要靈活運用圓錐曲線性質，注意合理地進行等價轉化．