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函數。定義數列如下：是過兩點的直線與x軸交點的橫坐標。
（1）證明：；
（2）求數列的通項公式。
解：（1）因為，
故點在函數的圖像上，
故由所給出的兩點，
可知，直線斜率一定存在。
故有直線的直線方程為，令，
可求得
所以
下面用數學歸納法證明
當時，，滿足
假設時，成立，
則當時，，
由
即也成立
綜上可知對任意正整數恒成立。
下面證明
由
由，
故有
即
綜上可知恒成立。
（2）由得到該數列的一個特征方程
即，解得或    ①     ②
兩式相除可得，而
故數列是以為首項以為公比的等比數列

故。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數，其中.定義數列如下：，.

（I）當時，求的值；

（II）是否存在實數m，使構成公差不為0的等差數列？若存在，請求出實數的值，若不存在，請說明理由；

（III）求證：當時，總能找到，使得.

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數，其中.定義數列如下：，.

（I）當時，求的值；

（II）是否存在實數m，使構成公差不為0的等差數列？若存在，請求出實數的值，若不存在，請說明理由；

（III）求證：當時，總能找到，使得.

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012年高考（大綱理））(注意:在試卷上作答無效)

函數.定義數列如下:是過兩點的直線與軸交點的橫坐標.

(1)證明:;

(2)求數列的通項公式.

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年廣東省六校聯合體高三第二次聯考數學文卷 題型：解答題

（本題滿分14分）

已知函數，其中.定義數列如下：，.

（I）當時，求的值；

（II）是否存在實數m，使構成公差不為0的等差數列？若存在，請求出實數的值，若不存在，請說明理由；

（III）求證：當時，總能找到，使得.

 

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