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【題目】在四棱錐中，平面，是正三角形，，.

（1）求平面與平面所成的銳二面角的大��；

（2）點為線段上的一動點，設異面直線與直線所成角的大小為，當時，試確定點的位置.

【答案】（1）（2）的位置可以是，也可以是.

【解析】

（1）以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出二面角；

（2）由點為線段上的一動點，可設，，利用空間向量法表示出異面直線與直線所成的角的余弦值，從而求出的值，即可確定的位置.

解：（1）取的中點為，在平面內作，交于點.

因為是正三角形，

所以.

又因為平面，平面，

所以.

又因為，

平面，

由平面，，

所以直線平面.

如圖，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系.

則，，，，，

，.

設平面的法向量，

所以，，

即，

取，則，

同理得平面的法向量，

設平面與平面所成的銳二面角為，

則.

又因為，

所以.

所以平面與平面所成的銳二面角的大小為.

（2）由點為線段上的一動點，可設，，

所以，.

由異面直線與直線所成角的大小為，

得，

所以，解得或.

所以的位置可以是，也可以是.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】新高考最大的特點就是取消文理科，除語文、數學、外語之外，從物理、化學、生物、政治、歷史、地理這科中自由選擇三門科目作為選考科目.某研究機構為了了解學生對全理（選擇物理、化學、生物）的選擇是否與性別有關，覺得從某學校高一年級的名學生中隨機抽取男生，女生各人進行模擬選科.經統計，選擇全理的人數比不選全理的人數多人.

（1）請完成下面的列聯表；

（2）估計有多大把握認為選擇全理與性別有關，并說明理由；

（3）現從這名學生中已經選取了男生名，女生名進行座談，從中抽取名代表作問卷調查，求至少抽到一名女生的概率.

附：，其中.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2019年上半年我國多個省市暴發了“非洲豬瘟”疫情，生豬大量病死，存欄量急劇下降，一時間豬肉價格暴漲，其他肉類價格也跟著大幅上揚，嚴重影響了居民的生活.為了解決這個問題，我國政府一方面鼓勵有條件的企業和散戶防控疫情，擴大生產；另一方面積極向多個國家開放豬肉進口，擴大肉源，確保市場供給穩定.某大型生豬生產企業分析當前市場形勢，決定響應政府號召，擴大生產決策層調閱了該企業過去生產相關數據，就“一天中一頭豬的平均成本與生豬存欄數量之間的關系”進行研究.現相關數據統計如下表：

生豬存欄數量（千頭）

2

3

4

5

8

頭豬每天平均成本（元）

3.2

2.4

2

1.9

1.5

（1）研究員甲根據以上數據認為與具有線性回歸關系，請幫他求出關于的線.性回歸方程（保留小數點后兩位有效數字）

（2）研究員乙根據以上數據得出與的回歸模型：.為了評價兩種模型的擬合效果，請完成以下任務：

①完成下表（計算結果精確到0.01元）（備注：稱為相應于點的殘差）；

生豬存欄數量（千頭）

2

3

4

5

8

頭豬每天平均成本（元）

3.2

2.4

2

1.9

1.5

模型甲

估計值

殘差

模型乙

估計值

3.2

2.4

2

1.76

1.4

殘差

0

0

0

0.14

0.1

②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和及，并通過比較的大小，判斷哪個模型擬合效果更好.

（3）根據市場調查，生豬存欄數量達到1萬頭時，飼養一頭豬每一天的平均收入為7.5元；生豬存欄數量達到1.2萬頭時，飼養一頭豬每一天的平均收入為7.2元若按（2）中擬合效果較好的模型計算一天中一頭豬的平均成本，問該生豬存欄數量選擇1萬頭還是1.2萬頭能獲得更多利潤?請說明理由.（利潤=收入-成本）

參考公式：.

參考數據：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成二面角銳角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2022年北京冬奧會的申辦成功與“3億人上冰雪”口號的提出，將冰雪這個冷項目迅速炒“熱”．北京某綜合大學計劃在一年級開設冰球課程，為了解學生對冰球運動的興趣，隨機從該校一年級學生中抽取了100人進行調查，其中女生中對冰球運動有興趣的占，而男生有10人表示對冰球運動沒有興趣額．

（1）完成列聯表，并回答能否有的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關”？

有興趣

沒興趣

合計

男

55

女

合計

（2）已知在被調查的女生中有5名數學系的學生，其中3名對冰球有興趣，現在從這5名學生中隨機抽取3人，求至少有2人對冰球有興趣的概率．

附表：

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為為參數），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點是曲線上的動點，點在的延長線上，且，點的軌跡為．

（1）求直線及曲線的極坐標方程；

（2）若射線與直線交于點，與曲線交于點（與原點不重合），求的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.

（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求點C到平面C1DE的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（1）求函數的極值；

（2）對于曲線上的不同兩點，如果存在曲線上的點，且使得曲線在點處的切線，則稱為弦的伴隨直線，特別地，當時，又稱為的—伴隨直線．

①求證：曲線的任意一條弦均有伴隨直線，并且伴隨直線是唯一的；

②是否存在曲線，使得曲線的任意一條弦均有—伴隨直線？若存在，給出一條這樣的曲線，并證明你的結論；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C過點M（1，），兩個焦點為A（﹣1，0），B（1，0），O為坐標原點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l過點A（﹣1，0），且與橢圓C交于P，Q兩點，求△BPQ面積的最大值．

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