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【題目】已知函數.

（1）當時，求證：；

（2）當時，若不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若，證明.

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】分析：（1）先利用導數求函數，再證明. （2）把不等式恒成立轉化為≥0，再利用導數求即得a的取值范圍. (3)利用第（2）問的結論和分析法證明.

詳解：（1）當時，，，

當時，；當時，

故在上單調遞減，在上單調遞增，

，.

（2），令，則.

①當時，在上，，單調遞增，，即，在上為增函數，

，當時滿足條件.

②當時，令，解得，在上，，單調遞減，

當時，有，即 在上為減函數，，不合題意.

綜上，實數的取值范圍為.

（3）由（2）得，當，時，，即=，

欲證不等式，

只需證明，

只需證明，

只需證 ，

設，則.

當時，恒成立，且， 恒成立.

原不等式得證.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】定義在R上的函數f（x）滿足 ， ．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數g（x）的單調區間；
（3）如果s、t、r滿足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么稱s比t更靠近r．當a≥2且x≥1時，試比較 和ex﹣1+a哪個更靠近lnx，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】微信是現代生活進行信息交流的重要工具，據統計，某公司名員工中的人使用微信，其中每天使用微信時間在一小時以內的有人，其余每天使用微信在一小時以上．若將員工年齡分成青年（年齡小于歲）和中年（年齡不小于歲）兩個階段，使用微信的人中是青年人．若規定：每天使用微信時間在一小時以上為經常使用微信，經常使用微信的員工中是青年人．

（Ⅰ）若要調查該公司使用微信的員工經常使用微信與年齡的關系，列出列聯表；


青年人

中年人

合計

經常使用微信




不經常使用微信




合計




（Ⅱ）由列聯表中所得數據，是否有的把握認為“經常使用微信與年齡有關”？

（Ⅲ）采用分層抽樣的方法從“經常使用微信”的人中抽取人，從這人中任選人，求事件 “選出的人均是青年人”的概率．

附：







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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，AB是的⊙O直徑，CB與⊙O相切于B，E為線段CB上一點，連接AC、AE分別交⊙O于D、G兩點，連接DG交CB于點F． （Ⅰ）求證：C、D、G、E四點共圓．
（Ⅱ）若F為EB的三等分點且靠近E，EG=1，GA=3，求線段CE的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】定義：若對定義域內任意x，都有（a為正常數），則稱函數為“a距”增函數．

（1）若，(0，)，試判斷是否為“1距”增函數，并說明理由；

（2）若，R是“a距”增函數，求a的取值范圍；

（3）若，(﹣1，)，其中kR，且為“2距”增函數，求的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】定義“正對數”：若，，則下列結論中正確的是（ ）

A. B.

C. D.

E.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數f（x）= x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常數a＞1
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若當x≥0時，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下列命題中正確命題的個數是（ ）
（1）cosα≠0是 的充分必要條件
（2）f（x）=|sinx|+|cosx|，則f（x）最小正周期是π
（3）若將一組樣本數據中的每個數據都加上同一個常數后，則樣本的方差不變
（4）設隨機變量ζ服從正態分布N（0，1），若P（ζ＞1）=p，則 ．
A.4
B.3
C.2
D.1

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知曲線，，則下列結論正確的是（ ）

A. 把上所有的點向右平移個單位長度，再把所有圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到曲線

B. 把上所有點向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變），得到曲線

C. 把上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再把所得圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到曲線

D. 把上各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變），再把所得圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到曲線

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