Question

(本小題滿分16分)
已知數列，，且滿足（）.
（1）若，求數列的通項公式；
（2）若，且.記，求證：數列為常數列；
（3）若，且.若數列中必有某數重復出現無數次，求首項應滿足的條件.

Answer 1

（1）數列的通項為. （2）見解析；
（3）當時，數列中必有某數重復出現無數次.

本試題主要是考查了數列的通項公式的求解，以及數列的概念和數列的單調性的運用。
（1）當時，有累加法得到
 
，也滿足上式，
所以數列的通項為.
（2）因為，
所以對任意的有，
所以數列是一個以6為周期的循環數列
進而證明為常數列
（3）因為，且，所以，
且對任意的，有，  
設，（其中為常數且），所以

，
所以數列均為以7為公差的等差數列.記，構造新數列來分析周期性和最值問題。
（1）當時，有
 ……………………1分
，也滿足上式，
所以數列的通項為. ………………………………………………………3分
（2）因為，
所以對任意的有，
所以數列是一個以6為周期的循環數列……………………………………………………5分
又因為，所以
所以

，
所以數列為常數列. ……………………………………………………………………7分
（3）因為，且，所以，
且對任意的，有，  
設，（其中為常數且），所以

，
所以數列均為以7為公差的等差數列.……………………………………………10分
記，則，
（其中，為中的一個常數），
當時，對任意的有；…………………………………………12分
當時，
 
①若，則對任意的有，數列為單調減數列；
②若，則對任意的有，數列為單調增數列；
綜上，當時，數列中必有某數重復出現無數次……………14分
當時，符合要求；當時，符合要求，此時的；
當時，符合要求，此時的；
當時，符合要求，此時的；
當時，符合要求，此時的；
當時，符合要求，此時的；
即當時，數列中必有某數重復出現無數次.………………………16分