Question

【題目】設函數，，其中，是自然對數的底數．

（1）若在上存在兩個極值點，求的取值范圍；

（2）若，，函數與函數的圖象交于，，，，且線段的中點為，證明：．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）見解析.

【解析】

（1）求導，依題意，導函數滿足在上有兩個不等實根，轉化可得，構造函數，利用導數可知，且由的趨近性可求得實數的取值范圍；

（2）問題轉化為證明，通過換元令，即證，再分別證明即可．

（1）由題意可知，，令，

則在上存在兩個極值點等價于在上有兩個不等實根，

由可得，

令，則，

令，則，

當時，，故函數在上單調遞減，且，

當時，，，單調遞增，

當時，，，單調遞減，

是的極大值也是最大值，

，

，

又當時，，當時，大于0且趨向于0，

要使在有兩個根，則；

（2）由題意可得，，

要證（1）成立，

只需證，即，

設，即證，

要證，只需證，

令，則，

在上為增函數，

，即成立；

要證，只需證，

令，則，

在上為減函數，

，即成立；

成立，

即成立．