Question

已知數列{a_n}滿足an=

n

n-1

an-1-

1

3

n•(

2

3

)n(n≥2，n∈N*)，首項為a1=

4

9

；
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記bn=

n-an

3n-2an

，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：

3n-4

9

＜Tn＜

n

3

；
（3）設數列{c_n}滿足c1=

1

2

，cn+1=

( 2 3 )k+1

ak

•

c

2 n

+cn，其中k為一個給定的正整數，
求證：當n≤k時，恒有c_n＜1．

Answer 1

分析：（1）將題中已知條件化簡便可求出

an

n

與

an-1

n-1

的關系，進而求得a_n的通項公式；
（2）由（1）中求得的a_n的通項公式便可求出b_n的通項公式，進而寫出前n項和T_n的表達式，即可證明；
（3）根據題中已知條件可知c_n為遞增數列，然后證明ck＜1即可證明：當n≤k時，恒有c_n＜1．

解答：解：（1）由已知可得：

an

n

=

an-1

n-1

-

1

3

(

2

3

)n(n≥2)，
即

an

n

-

an-1

n-1

=-

1

3

(

2

3

)n（n≥2），
由累加法可求得：

an

n

=(

2

3

)n+1，
即an=n(

2

3

)n+1(n≥2)，
又n=1也成立，
∴an=n(

2

3

)n+1(n∈N*)（4分）；
（2）bn=

n-an

3n-2an

=

1- an n

3-2 an n

=

1-( 2 3 )n+1

3-2( 2 3 )n+1

，
先證bn＜

1

3

由bn＜

1

3

?

1-( 2 3 )n+1

3-2( 2 3 )n+1

＜

1

3

?1-(

2

3

)n+1＜1-

2

3

•(

2

3

)n+1?

1

3

•(

2

3

)n+1＞0，
此式顯然成立，
∴Tn=b1+b2++bn＜

n

3

（6分）
又b_n=

1-( 2 3 )n+1

3-2( 2 3 )n+1

＞

1

3

[1-(

2

3

)n+1]，
∴Tn=b1+b2++bn＞

1

3

[n-(

2

3

)2-(

2

3

)3--(

2

3

)n+1]=

1

3

[n-

4

3

(1-(

2

3

)n]＞

1

3

[n-

4

3

]=

3n-4

9

即

3n-4

9

＜Tn＜

n

3

．
（3）由題意知：Cn+1=

1

k

C

2 n

+Cn＞Cn，
∴{C_n}為遞增數列
∴只需證：C_k＜1即可
若k=1，則C1=

1

2

＜1顯然成立；
若k≥2，則Cn+1=

1

k

C

2 n

+

C

n

＜

1

k

C

n

C

n+1

+

C

n

，即

1

Cn+1

-

1

Cn

＞-

1

k

，
因此

1

Ck

=(

1

Ck

-

1

Ck-1

)++(

1

C2

-

1

C1

)+

1

C1

＞-

k-1

k

+2=

k+1

k

，
∴Ck＜

k

k+1

＜1
∴故n≤k時，恒有C_n＜1（14分）

點評：本題主要考查了數列的遞推公式以及數列與不等式的綜合，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．