Question

已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n，a_n，1成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若a_n²=2-bn，設C_n=

bn

an

求數列{C_n}的前項和T_n．

Answer 1

分析：（1）等差數列中知道s_n求a_n，須分n=1與n≥2兩種情況討論，當n=1時符合n≥2時的結果則合，不符合合則分；
（2）由（1）求得a_n=2^n-1，又an2=2-bn可求得b_n=2-2n，又cn=

bn

an

=

2-2n

2n-1

可用錯位相減法求c_n的前n項和T_n．

解答：解：（1）由題意2a_n=S_n+1，a_n＞0
當n=1時2a₁=a₁+1∴a₁=1
n≥2時，s_n=2a_n-1，s_n-1=2a_n-1-1
兩式相減a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2）
整理得

an

an-1

=2（n≥2）（4分）
∴數列{a_n}1為首項，2為公比的等比數列．
∴a_n=a₁•2^n-1=1×2^n-1=2^n-1（5分）
（2）an2=2-bn=22n-2
∴b_n=2-2n（6分）
Cn=

bn

an

=

2-2n

2n-1

=

4-4n

2n

Tn =

0

2

+

-4

22

+

-8

23

+…+

8-4n

2n-1

+

4-4n

2n

①

1

2

Tn=

0

22

+

-4

23

+…+

8-4n

2n

+

4-4n

2n+1

②
①-②

1

2

Tn=-4(

1

22

+

1

23

+…

1

2n

)  -

4-4n

2n+1

（9分）
=-4•

1 22 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

4-4n

2n+1

=-2(1-

1

2n-1

)-

4-4n

2n+1

=

n+1

2n-1

-2（11分）
∴Tn=

n+1

2n-2

-4（12分）

點評：該題考查求數列的通項與數列求和．知道s_n求a_n求通項公式，分n=1與n≥2兩種情況討論，n=1符合n≥2時的結果，所以通項公式合為一個，等差數列與等比數列的乘積構成的數列的和用錯位相減法，綜合性強．